Konsep Dasar dan Cara Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak - Matematika Wajib Kelas X

Pada kesempatan ini, IndoINT akan membahas materi matematika wajib kelas X semester 1 (Kurikulum 2013 revisi) yaitu mengenai persamaan nilai mutlak. InsyaAlloh pada tulisan ini akan di bahas konsep dasar nilai mutlak, persamaan nilai mutlak, dan beberapa cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak dilengkapi contoh soal beserta pembahasannya. Semoga tulisan ini dapat membantu adik-adik yang sedang mempelajari nilai mutlak.

Konsep Dasar Nilai Mutlak

Nilai Mutlak Sebagai Jarak Pada Garis Bilangan

Nilai mutlak bilangan $x$ dinotasikan dengan $\left | x\right |$ (dibaca "nilai mutlak dari $x$") dapat diartikan sebagai jarak suatu bilangan dari 0 pada suatu garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya. Perhatikan contoh sederhana berikut:

Contoh:

$\left | x \right |=4$, berapa nilai $x$ yang memenuhi?

Jawab:

Persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep nilai mutlak sebagai jarak suatu bilangan terhadap nilai 0 pada garis bilangan. 

$\left | x\right |=4$ dapat diartikan "berapa nilai $x$ yang memenuhi yang berjarak 4 dari 0 pada garis bilangan?". Maka akan kita peroleh dua nilai $x$, dari 0 ke arah kiri berjarak 4 dan dari 0 ke kanan berjarak 4. lihat gambar berikut:

Dari gambar diatas, terlihat nilai yang berjarak 4 dari nol adalah $4$ dan $-4$. Sehingga untuk persamaan $\left |x\right |=4$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=4$ atau $x=-4$.

Konsep tersebut dapat kita perluas, sehingga dapat kita gunakan untuk menyelesaikan nilai mutlak yang melibatkan bentuk aljabar. Dari konsep di atas, kita peroleh:

untuk $f(x)$ suatu bentuk aljabar, dan $k$ bilangan real positif, berlaku: 
$\left |f(x) \right |=k \Rightarrow f(x)=k\space\text{atau}\space f(x)=-k$ 

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut:

$\left | 2x-1\right |=5 $

Jawab:

$\left | 2x-1\right |=5\\ \Leftrightarrow 2x-1=5\space\text{atau}\space 2x-1=-5\\ \Leftrightarrow 2x=6\space\text{atau}\space 2x=-4\\ \Leftrightarrow x=3\space\text{atau}\space x=-2$

Definisi Nilai Mutlak

Setelah memperhatikan konsep nilai mutlak sebagai jarak, dapat kita ambil kesimpulan bahwa nilai mutlak menghasilkan nilai positif (ingat, jarak tidak mungkin negatif). Jadi $|x|$ jika $x$ positif, maka $|x|=x$ dan jika $x$ negatif, maka $|x|=-x$, atau definisi secara umum dapat ditulis:

Nilai mutlak dari sembarang nilai $x\in$ bilangan real, yang dinotasikan $|x|$, didefinisikan sebagai:
$\left | x \right |=\begin{cases} x & \text{ jika } x\geq0 \\ -x & \text{ jika } x< 0 \end{cases}$

untuk memahaminya, perhatikan beberapa contoh berikut:

$|0|=0$

$|9|=9$

$|-9|=-(-9)=9$

$|150|=150$

$|-150|=-(-150)=150$

$\left |\frac{-120}{3} \right |=|-40|=-(-40)=40$

Sifat-sifat Nilai Mutlak

Beberapa sifat nilai mutlak diantaranya:

1. $\left | -x \right|=\left | x\right |$
2. $\left | x \right | = \sqrt{x^2}$
3. $\left |x \right |^2=\left | -x^2\right |=x^2$
4. $\left |x-y \right |=\left | y-x\right |$
5. $\left | xy \right |=\left | x\right | \left |y\right |$
6. $\left |\frac{x}{y}\right |=\frac{|x|}{|y|}, y\ne 0$
7. $\left |x+y\right|\leq |x|+|y|$
8. $|x|-|y|\leq |x-y|$

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Tentukan nilai $\left | 3x-5 \right |$ untuk $x=3$ dan untuk $x=-2$!

Jawab:

untuk $x=3$

$\begin{align*}\left |3x-5\right|&=\left |3\times (3)-5\right|\\&=\left|9-5\right|\\&=\left|4\right|\\&=4\end{align*}$

untuk $x=-2$

$\begin{align*} \left|3x-5 \right|&=\left|3\times (-2)-5 \right|\\&=\left|-6-5 \right|\\&=\left | -11\right|\\&=-(-11)\\&=11\end{align*}$

---

Contoh 2:

Diketahui $f(x)=|2x-1|$ dan $g(x)=|6-x|$. Berapakan nilai $|f(2)-g(-4)|$?

Jawab:
$\begin{align*}\left | f(2)+g(3)\right |&=\left | |2(2)-1|-|6-(-4)| \right |\\&=\left |  |3|-|10|\right |\\&=|3-10|\\&=|-7|\\&=-(-7)\\&=7\end{align*}$

---

Contoh 3:

Bentuk sederhana dari $\left |5-2x \right|+\left | x+4\right |-\left |x-2\right|$ untuk $x>10$ adalah ....

Jawab:

untuk $x>10$, $5-2x < 0$ maka $|5-2x|=-(5-2x)=2x-5$
untuk $x>10$, $x+4>0$ maka $|x+4|=x+4$
untuk $x>10$, $x-2>0$ maka $|x-2|=x-2$

sehingga:
$\begin{align*}|5-2x|+|x+4|-|x-2|&=2x-5+x+4-(x-2)\\&=2x-5+x+4-x+2\\&=2x+1\end{align*}$

---

Contoh 4:

Bentuk sederhana dari $|x-1|+|x+2|-|9-3x|$ untuk $1 < x < 3$ adalah ....

Jawab:

untuk $1 < x < 3$, $x-1>0$ maka $|x-1|=x-1$
untuk $1 < x < 3$, $x+2>0$ maka $|x+2|=x+2$
untuk $1 < x < 3$, $9-3x>0$ maka $|9-3x|=9-3x$

sehingga:
$\begin{align*}|x-1|+|x+2|-|9-3x|&=x-1+x+2-(9-3x)\\&=x-1+x+2-9+3x\\&=5x-8\end{align*}$

---

Contoh 5:

Himpinan penyelesaian persamaan $|x+2|^2-3|x+2|=4$ adalah ....

Jawab:

$\begin{align*}|x+2|^2-3|x+2|&=4\\|x+2|^2-3|x+2|-4&=0\end{align*}$

Misal: $|x+2|=p$, maka persamaan menjadi:

$\begin{align*}p^2-3p-4&=0\\(p-4)(p+1)&=0\\p=4\space\text{atau}\space p=-1\end{align*}$

$p=4\\|x+2|=4\\x=2\space\text{atau}\space x=-6$

$\begin{align*}p&=-1\\|x+2|&=-1\space\text{Tidak Memenuhi}\end{align*}$

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\left \{-6,2 \right\}$

---

Contoh 6:

Himpunan penyelesaian persamaan $|x-7|-|x-2|=3$ adalah ....

Jawab:

Pembuat nol nilai mutlak di atas adalah $x=2$ dan $x=7$, dengan demikian untuk menyelesaikan soal tipe dia atas, akan kita bagi ke dalam beberapa interval nilai $x$. Yaitu $x < 2$, $2 < x < 7$ dan $x > 7$.

untuk $x < 2$

untuk $x < 2$, $x-7 < 0$ maka $|x-7|=-(x-7)=7-x$
untuk $x < 2$, $x-2 < 0$ maka $|x - 2|=-(x-2)=2-x$

maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\7-x-(2-x)&=3\\7-x-2+x&=3\\5&=3\space \text{tidak memenuhi}\end{align*}$

untuk $2 <  x  < 7$

untuk $2 < x < 7$, $x-7 < 0$ maka $|x-7|=-(x-7)=7-x$
untuk $2 < x < 7$, $x-2 > 0$ maka $|x-2|=x-2$

maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\7-x-(x-2)&=3\\7-x-x+2&=3\\-2x+9&=3\\2x&=6\\x&=3\text{           memenuhi}\end{align*}$

untuk $x \gt 7$

untuk $x\gt 7$, $x-7 > 0$ maka $|x-7|=x-7$
untuk $x\gt 7$, $x-2 > 0$ maka $|x-2||=x-2$

maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\x-7-(x-2)&=3\\x-7-x+2&=3\\-5&=3\text{     tidak memenuhi}\end{align*}$

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\{ 3 \}$

---

Contoh 7:

Himpunan penyelesaian dari persamaan $|x-2|=|6+2x|$ adalah ....

Jawab:

Karena persamaan nilai mutlak bentuk $\left | f\left( x\right ) \right|=\left|g\left(x\right)\right|$ kedua ruas pasti bernilai positif, maka bentuk ini dapat diselesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.

$\begin{align*}\left(|x-2|\right)^2&=\left(|6+2x|\right)^2\\\left(x-2\right)^2&=\left(6+2x\right)^2\leftarrow\text{sifat }|x|^2=x^2\\(x-2)^2-(6+2x)^2&=0\\ \left((x-2)+(6+2x)\right)\left((x-2)-(6+2x)\right)&=0\\(3x+4)(-x-8)&=0\\3x+4=0\space\text{atau}\space -x-8&=0\\x=-\frac{4}{3}\space\text{atau}\space x&=-8\end{align*}$

jadi, himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah $\left \{-8, -\frac{4}{3}\right \}$

---

Contoh 8:

Himpunan penyelesaian $|8-2x|+x-5=0$ adalah ....

Jawab:

$\begin{align*}|8-2x|+x-5&=0\\|8-2x|&=5-x\end{align*}$

Berbeda dengan contoh 7, persamaan $|8-2x|=5-x$ pada ruas kanan belum tentu bernilai positif, sehingga jangan diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua ruas, namun dengan melakukan analisis nilai $x$ dan menggunakan definisi nilai mutlak.

pembuat nol nilai mutlak adalah $x=4$, maka akan kita analisis persamaan untuk interval $x < 4$ dan $x\gt 4$.

untuk $x\lt 4$

untuk $x\lt 4$, $8-2x \gt 0$ sehingga $|8-2x|=8-2x$
$\begin{align*}|8-2x|&=5-x\\8-2x&=5-x\\-x&=-3\\x&=3\end{align*}$

karena $x=3$ terletak pada interval $x\lt 4$ maka $x=3$ merupakan penyelesaian.

untuk $x\gt 4$

untuk $x\gt 4$, $8-2x\lt 0$ sehingga $|8-2x|=-(8-2x)=2x-8$

$\begin{align*}|8-2x|&=5-x\\2x-8&=5-x\\3x&=13\\x&=\frac{13}{3}\end{align*}$

karena $x=\frac{13}{3}$  terletak pada interval $x\gt 4$, maka $x=\frac{13}{3}$ merupakan penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\left \{3, \frac{13}{3} \right\} $

Setelah anda mempelajari beberapa contoh soal dan pembahasan di atas, alangkah baiknya anda mencoba beberapa soal yang kami bagikan pada link di bawah ini sebagai bahan latihan mandiri untuk mengasah pemahaman dan keterampilan materi persamaan nilai mutlak:

Download Soal Persamaan Nilai Mutlak

---

Demikianlah konsep dasar persamaan nilai mutlak beserta beberapa contoh soal dan pembahasan dengan berbagai tipe soal (materi matematika wajib kelas 10), jika penjelasan di atas masih kurang dimengerti sebaiknya anda melihat pemaparan materi dalam bentuk video berikut ini. Pada video tersebut dijelaskan konsep dasar nilai mutlahk beserta 10 soal dan pembahasan.

jangan lupa subscribe channel YouTube kami untuk video pembelajaran matematika gratis di https://yutube.com/m4thlab.

Sumber https://www.m4th-lab.net/

Distribusi Binomial - Rumus, Contoh Soal dan Pembahasan

Dalam kehidupan sehari-hari kita seringkali berhadapan dengan kondisi yang memiliki dua kemungkinan, misalnya seorang ibu melahirkan bayi yang terlahir bisa laki-laki atau perempuan, saat kita melempar sebuah dadu bilangan yang muncul bisa ganjil atau genap, saat kita melempar sebuah koin, yang muncul bisa gambar atau angka, ketika siswa ujian hasilnya bisa lulus atau tidak lulus. Dalam studi peluang, berbagai kondisi yang memiliki dua kemungkinan disebut sebagai percobaan binomial atau eksperimen binomial.

Binomial terdiri dari dua suku kata  yaitu bi yang artinya dua dan nomial yang dapat diartikan sebagai kondisi. Dengan demikian, binomial merupakan kondisi yang memiliki dua kemungkinan, yaitu "berhasil" atau "gagal".

Misalnya, ketika kita melempar sebuah koin sebanyak 10 kali dan kita ingin menghitung peluang dari 10 kali pelemparan tersebut sebanyak 5 kali pelemparan kita memperoleh gambar. Kejadian tersebut merupakan salah satu contoh kejadian yang memerlukan formula peluang binomial yang akan kita pelajari pada tulisan ini. Pada kondisi tersebut, kondisi dimana koin menunjukan gambar bisa kita anggal sebagai konisi "berhasil" maka saat koin menunjukan angka bisa kita anggal sebagai kondisi "gagal".

Rumus Peluang (Distribusi) Binomial

untuk percobaan binomial, dimana peluang sukses adalah $p$ dan peluang gagal adalah $q$ untuk setiap percobaan dimana $q=1-p$, maka probabilitas sukses sebanyak $x$ dari $n$ percobaan adalah: $$P(x,n)=C(n,x)\times p^{x}\times q^{n-x}$$

Keterangan:
$C(n,x)=\frac{n!}{(n-x)!.x!}$ 

untuk lebih memahaminya perhatikan beberapa contoh soal beserta pembahasan berikut ini:

Contoh 1 (UN 2015 Program IPA)

Seorang penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti dengan peluang $\frac{3}{5}$. Dalam sebuah kesempatan dilakukan 5 kali tendangan. Peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan penalti tersebut adalah ....

A. $\frac{180}{625}$

B. $\frac{612}{625}$

C. $\frac{216}{625}$

D. $\frac{228}{625}$

E. $\frac{230}{625}$

Pembahasan:

Pada kejadian di atas kondisi "sukses" adalah keadaan dimana penjaga gawang mampu menahan tendangan, peluang sukses $p=\frac{3}{5}$, maka peluang "gagal" adalah $q=1-p=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$.

Peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan $(x=3)$ dari 5 kali tendangan $(n=5)$ adalah:

$\begin{align*}P(x=3, n=5)&=C(5,3)\times \left(\frac{3}{5}\right)^{3}\times \left(\frac{2}{5}\right)^{5-3}\\&=\frac{5!}{2!.3!}\times \left(\frac{3}{5}\right)^{3}\times\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\\&=10\times\left(\frac{27}{125}\right)\times\left(\frac{4}{25}\right)\\&=\frac{216}{625}\end{align*}$

Contoh 2 (SIMAK UI)

Peluang mendapatkan satu kali jumlah angka 7 dalam tiga kali pelemparan dua buah dadu adalah ....

A. $\frac{5}{246}$

B. $\frac{5}{36}$

C. $\frac{25}{46}$

D. $\frac{25}{72}$

E. $\frac{135}{432}$

Pembahasan:

kemungkinan jumlah mata dadu 7:

$\left\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\right\}$ ada 6 kemungkinan

banyak semua kemungkinan adalah $6\times 6=36$

dengan demikian peluang sukses (jumlah mata dadu 7) adalah $p=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

peluang gagal (jumlah mata dadu bukan 7) adalah $q=1-p=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

Peluang mendapatkan satu kali $(x=1)$ dadu jumah 7 dari 3 kali $(n=3)$ pelemparan adalah:

$\begin{align*}P(x=1,n=3)&=C(3,1)\times\left(\frac{1}{6}\right)^{1}\times\left(\frac{5}{6} \right)^{3-1}\\&=\frac{3!}{2!.1!}\times\left(\frac{1}{6}\right)\times\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\\&=3\times\left(\frac{1}{6}\right)\times\left(\frac{25}{36}\right)\\&=\frac{25}{72}\end{align*}$

Contoh 3

Probabilitas seorang bayi tidak diimunisasi rubela adalah $0,2$. Pada suatu hari di puskesmas Cempaka ada 4 orang bayi, peluang dari bayi tersebut 3 orang belum diimunisasi rubela adalah ....
A. $0,0128$
B. $0,0256$
C. $0,0512$
D. $0,1240$
E. $0,2480$

Pembahasan:

peluang tidak diimunisasi adalah $p=0,2$
peluang diimunisasi adalah $q=1-p=1-0,2=0,8$

Peluang 3 dari 4 bayi belum diiunisasi adalah :

$\begin{align*}P(x=3, n=4)&=C(4,3)\times (0,2)^{3}\times (0,8)^{4-3}\\&=\frac{4!}{1!.3!}\times(0,008)\times (0,8)\\&=0,0256\end{align*}$

Contoh 4

Sebuah koin dilempar 5 kali. Peluang mendapatkan sisi gambar tepat 3 kali adalah ....
A. $\frac{6}{54}$
B. $\frac{10}{32}$
C. $\frac{8}{36}$
D. $\frac{5}{18}$
E. $\frac{3}{18}$

Pembahasan:
Peluang mendapat gambar pada setiap pelemparan adalah $p=\frac{1}{2}$
Peluang mendapatkan angka pada setiap pelemparan adalah $q=1-p=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Peluang tepat 3 kali dapat gambar dari 5 kali pelemparan adalah:

$\begin{align*}P(x=3,n=5)&=C(5,3)\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\\&=\frac{5!}{2!.3!}\times\left(\frac{1}{8}\right)\times\left(\frac{1}{4}\right)\\&=10\times\frac{1}{8}\times\frac{1}{4}\\&=\frac{10}{32}\end{align*}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan materi distribusi binomial. semoga bermanfaat

Sumber https://www.m4th-lab.net/