Konsep Dasar dan Cara Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak - Matematika Wajib Kelas X

Pada kesempatan ini, IndoINT akan membahas materi matematika wajib kelas X semester 1 (Kurikulum 2013 revisi) yaitu mengenai persamaan nilai mutlak. InsyaAlloh pada tulisan ini akan di bahas konsep dasar nilai mutlak, persamaan nilai mutlak, dan beberapa cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak dilengkapi contoh soal beserta pembahasannya. Semoga tulisan ini dapat membantu adik-adik yang sedang mempelajari nilai mutlak.

Konsep Dasar Nilai Mutlak

Nilai Mutlak Sebagai Jarak Pada Garis Bilangan

Nilai mutlak bilangan $x$ dinotasikan dengan $\left | x\right |$ (dibaca "nilai mutlak dari $x$") dapat diartikan sebagai jarak suatu bilangan dari 0 pada suatu garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya. Perhatikan contoh sederhana berikut:

Contoh:

$\left | x \right |=4$, berapa nilai $x$ yang memenuhi?

Jawab:

Persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep nilai mutlak sebagai jarak suatu bilangan terhadap nilai 0 pada garis bilangan. 

$\left | x\right |=4$ dapat diartikan "berapa nilai $x$ yang memenuhi yang berjarak 4 dari 0 pada garis bilangan?". Maka akan kita peroleh dua nilai $x$, dari 0 ke arah kiri berjarak 4 dan dari 0 ke kanan berjarak 4. lihat gambar berikut:

Dari gambar diatas, terlihat nilai yang berjarak 4 dari nol adalah $4$ dan $-4$. Sehingga untuk persamaan $\left |x\right |=4$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=4$ atau $x=-4$.

Konsep tersebut dapat kita perluas, sehingga dapat kita gunakan untuk menyelesaikan nilai mutlak yang melibatkan bentuk aljabar. Dari konsep di atas, kita peroleh:

untuk $f(x)$ suatu bentuk aljabar, dan $k$ bilangan real positif, berlaku: 
$\left |f(x) \right |=k \Rightarrow f(x)=k\space\text{atau}\space f(x)=-k$ 

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut:

$\left | 2x-1\right |=5 $

Jawab:

$\left | 2x-1\right |=5\\ \Leftrightarrow 2x-1=5\space\text{atau}\space 2x-1=-5\\ \Leftrightarrow 2x=6\space\text{atau}\space 2x=-4\\ \Leftrightarrow x=3\space\text{atau}\space x=-2$

Definisi Nilai Mutlak

Setelah memperhatikan konsep nilai mutlak sebagai jarak, dapat kita ambil kesimpulan bahwa nilai mutlak menghasilkan nilai positif (ingat, jarak tidak mungkin negatif). Jadi $|x|$ jika $x$ positif, maka $|x|=x$ dan jika $x$ negatif, maka $|x|=-x$, atau definisi secara umum dapat ditulis:

Nilai mutlak dari sembarang nilai $x\in$ bilangan real, yang dinotasikan $|x|$, didefinisikan sebagai:
$\left | x \right |=\begin{cases} x & \text{ jika } x\geq0 \\ -x & \text{ jika } x< 0 \end{cases}$

untuk memahaminya, perhatikan beberapa contoh berikut:

$|0|=0$

$|9|=9$

$|-9|=-(-9)=9$

$|150|=150$

$|-150|=-(-150)=150$

$\left |\frac{-120}{3} \right |=|-40|=-(-40)=40$

Sifat-sifat Nilai Mutlak

Beberapa sifat nilai mutlak diantaranya:

1. $\left | -x \right|=\left | x\right |$
2. $\left | x \right | = \sqrt{x^2}$
3. $\left |x \right |^2=\left | -x^2\right |=x^2$
4. $\left |x-y \right |=\left | y-x\right |$
5. $\left | xy \right |=\left | x\right | \left |y\right |$
6. $\left |\frac{x}{y}\right |=\frac{|x|}{|y|}, y\ne 0$
7. $\left |x+y\right|\leq |x|+|y|$
8. $|x|-|y|\leq |x-y|$

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Tentukan nilai $\left | 3x-5 \right |$ untuk $x=3$ dan untuk $x=-2$!

Jawab:

untuk $x=3$

$\begin{align*}\left |3x-5\right|&=\left |3\times (3)-5\right|\\&=\left|9-5\right|\\&=\left|4\right|\\&=4\end{align*}$

untuk $x=-2$

$\begin{align*} \left|3x-5 \right|&=\left|3\times (-2)-5 \right|\\&=\left|-6-5 \right|\\&=\left | -11\right|\\&=-(-11)\\&=11\end{align*}$

---

Contoh 2:

Diketahui $f(x)=|2x-1|$ dan $g(x)=|6-x|$. Berapakan nilai $|f(2)-g(-4)|$?

Jawab:
$\begin{align*}\left | f(2)+g(3)\right |&=\left | |2(2)-1|-|6-(-4)| \right |\\&=\left |  |3|-|10|\right |\\&=|3-10|\\&=|-7|\\&=-(-7)\\&=7\end{align*}$

---

Contoh 3:

Bentuk sederhana dari $\left |5-2x \right|+\left | x+4\right |-\left |x-2\right|$ untuk $x>10$ adalah ....

Jawab:

untuk $x>10$, $5-2x < 0$ maka $|5-2x|=-(5-2x)=2x-5$
untuk $x>10$, $x+4>0$ maka $|x+4|=x+4$
untuk $x>10$, $x-2>0$ maka $|x-2|=x-2$

sehingga:
$\begin{align*}|5-2x|+|x+4|-|x-2|&=2x-5+x+4-(x-2)\\&=2x-5+x+4-x+2\\&=2x+1\end{align*}$

---

Contoh 4:

Bentuk sederhana dari $|x-1|+|x+2|-|9-3x|$ untuk $1 < x < 3$ adalah ....

Jawab:

untuk $1 < x < 3$, $x-1>0$ maka $|x-1|=x-1$
untuk $1 < x < 3$, $x+2>0$ maka $|x+2|=x+2$
untuk $1 < x < 3$, $9-3x>0$ maka $|9-3x|=9-3x$

sehingga:
$\begin{align*}|x-1|+|x+2|-|9-3x|&=x-1+x+2-(9-3x)\\&=x-1+x+2-9+3x\\&=5x-8\end{align*}$

---

Contoh 5:

Himpinan penyelesaian persamaan $|x+2|^2-3|x+2|=4$ adalah ....

Jawab:

$\begin{align*}|x+2|^2-3|x+2|&=4\\|x+2|^2-3|x+2|-4&=0\end{align*}$

Misal: $|x+2|=p$, maka persamaan menjadi:

$\begin{align*}p^2-3p-4&=0\\(p-4)(p+1)&=0\\p=4\space\text{atau}\space p=-1\end{align*}$

$p=4\\|x+2|=4\\x=2\space\text{atau}\space x=-6$

$\begin{align*}p&=-1\\|x+2|&=-1\space\text{Tidak Memenuhi}\end{align*}$

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\left \{-6,2 \right\}$

---

Contoh 6:

Himpunan penyelesaian persamaan $|x-7|-|x-2|=3$ adalah ....

Jawab:

Pembuat nol nilai mutlak di atas adalah $x=2$ dan $x=7$, dengan demikian untuk menyelesaikan soal tipe dia atas, akan kita bagi ke dalam beberapa interval nilai $x$. Yaitu $x < 2$, $2 < x < 7$ dan $x > 7$.

untuk $x < 2$

untuk $x < 2$, $x-7 < 0$ maka $|x-7|=-(x-7)=7-x$
untuk $x < 2$, $x-2 < 0$ maka $|x - 2|=-(x-2)=2-x$

maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\7-x-(2-x)&=3\\7-x-2+x&=3\\5&=3\space \text{tidak memenuhi}\end{align*}$

untuk $2 <  x  < 7$

untuk $2 < x < 7$, $x-7 < 0$ maka $|x-7|=-(x-7)=7-x$
untuk $2 < x < 7$, $x-2 > 0$ maka $|x-2|=x-2$

maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\7-x-(x-2)&=3\\7-x-x+2&=3\\-2x+9&=3\\2x&=6\\x&=3\text{           memenuhi}\end{align*}$

untuk $x \gt 7$

untuk $x\gt 7$, $x-7 > 0$ maka $|x-7|=x-7$
untuk $x\gt 7$, $x-2 > 0$ maka $|x-2||=x-2$

maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\x-7-(x-2)&=3\\x-7-x+2&=3\\-5&=3\text{     tidak memenuhi}\end{align*}$

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\{ 3 \}$

---

Contoh 7:

Himpunan penyelesaian dari persamaan $|x-2|=|6+2x|$ adalah ....

Jawab:

Karena persamaan nilai mutlak bentuk $\left | f\left( x\right ) \right|=\left|g\left(x\right)\right|$ kedua ruas pasti bernilai positif, maka bentuk ini dapat diselesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.

$\begin{align*}\left(|x-2|\right)^2&=\left(|6+2x|\right)^2\\\left(x-2\right)^2&=\left(6+2x\right)^2\leftarrow\text{sifat }|x|^2=x^2\\(x-2)^2-(6+2x)^2&=0\\ \left((x-2)+(6+2x)\right)\left((x-2)-(6+2x)\right)&=0\\(3x+4)(-x-8)&=0\\3x+4=0\space\text{atau}\space -x-8&=0\\x=-\frac{4}{3}\space\text{atau}\space x&=-8\end{align*}$

jadi, himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah $\left \{-8, -\frac{4}{3}\right \}$

---

Contoh 8:

Himpunan penyelesaian $|8-2x|+x-5=0$ adalah ....

Jawab:

$\begin{align*}|8-2x|+x-5&=0\\|8-2x|&=5-x\end{align*}$

Berbeda dengan contoh 7, persamaan $|8-2x|=5-x$ pada ruas kanan belum tentu bernilai positif, sehingga jangan diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua ruas, namun dengan melakukan analisis nilai $x$ dan menggunakan definisi nilai mutlak.

pembuat nol nilai mutlak adalah $x=4$, maka akan kita analisis persamaan untuk interval $x < 4$ dan $x\gt 4$.

untuk $x\lt 4$

untuk $x\lt 4$, $8-2x \gt 0$ sehingga $|8-2x|=8-2x$
$\begin{align*}|8-2x|&=5-x\\8-2x&=5-x\\-x&=-3\\x&=3\end{align*}$

karena $x=3$ terletak pada interval $x\lt 4$ maka $x=3$ merupakan penyelesaian.

untuk $x\gt 4$

untuk $x\gt 4$, $8-2x\lt 0$ sehingga $|8-2x|=-(8-2x)=2x-8$

$\begin{align*}|8-2x|&=5-x\\2x-8&=5-x\\3x&=13\\x&=\frac{13}{3}\end{align*}$

karena $x=\frac{13}{3}$  terletak pada interval $x\gt 4$, maka $x=\frac{13}{3}$ merupakan penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\left \{3, \frac{13}{3} \right\} $

Setelah anda mempelajari beberapa contoh soal dan pembahasan di atas, alangkah baiknya anda mencoba beberapa soal yang kami bagikan pada link di bawah ini sebagai bahan latihan mandiri untuk mengasah pemahaman dan keterampilan materi persamaan nilai mutlak:

Download Soal Persamaan Nilai Mutlak

---

Demikianlah konsep dasar persamaan nilai mutlak beserta beberapa contoh soal dan pembahasan dengan berbagai tipe soal (materi matematika wajib kelas 10), jika penjelasan di atas masih kurang dimengerti sebaiknya anda melihat pemaparan materi dalam bentuk video berikut ini. Pada video tersebut dijelaskan konsep dasar nilai mutlahk beserta 10 soal dan pembahasan.

jangan lupa subscribe channel YouTube kami untuk video pembelajaran matematika gratis di https://yutube.com/m4thlab.

Sumber https://www.m4th-lab.net/

Distribusi Binomial - Rumus, Contoh Soal dan Pembahasan

Dalam kehidupan sehari-hari kita seringkali berhadapan dengan kondisi yang memiliki dua kemungkinan, misalnya seorang ibu melahirkan bayi yang terlahir bisa laki-laki atau perempuan, saat kita melempar sebuah dadu bilangan yang muncul bisa ganjil atau genap, saat kita melempar sebuah koin, yang muncul bisa gambar atau angka, ketika siswa ujian hasilnya bisa lulus atau tidak lulus. Dalam studi peluang, berbagai kondisi yang memiliki dua kemungkinan disebut sebagai percobaan binomial atau eksperimen binomial.

Binomial terdiri dari dua suku kata  yaitu bi yang artinya dua dan nomial yang dapat diartikan sebagai kondisi. Dengan demikian, binomial merupakan kondisi yang memiliki dua kemungkinan, yaitu "berhasil" atau "gagal".

Misalnya, ketika kita melempar sebuah koin sebanyak 10 kali dan kita ingin menghitung peluang dari 10 kali pelemparan tersebut sebanyak 5 kali pelemparan kita memperoleh gambar. Kejadian tersebut merupakan salah satu contoh kejadian yang memerlukan formula peluang binomial yang akan kita pelajari pada tulisan ini. Pada kondisi tersebut, kondisi dimana koin menunjukan gambar bisa kita anggal sebagai konisi "berhasil" maka saat koin menunjukan angka bisa kita anggal sebagai kondisi "gagal".

Rumus Peluang (Distribusi) Binomial

untuk percobaan binomial, dimana peluang sukses adalah $p$ dan peluang gagal adalah $q$ untuk setiap percobaan dimana $q=1-p$, maka probabilitas sukses sebanyak $x$ dari $n$ percobaan adalah: $$P(x,n)=C(n,x)\times p^{x}\times q^{n-x}$$

Keterangan:
$C(n,x)=\frac{n!}{(n-x)!.x!}$ 

untuk lebih memahaminya perhatikan beberapa contoh soal beserta pembahasan berikut ini:

Contoh 1 (UN 2015 Program IPA)

Seorang penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti dengan peluang $\frac{3}{5}$. Dalam sebuah kesempatan dilakukan 5 kali tendangan. Peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan penalti tersebut adalah ....

A. $\frac{180}{625}$

B. $\frac{612}{625}$

C. $\frac{216}{625}$

D. $\frac{228}{625}$

E. $\frac{230}{625}$

Pembahasan:

Pada kejadian di atas kondisi "sukses" adalah keadaan dimana penjaga gawang mampu menahan tendangan, peluang sukses $p=\frac{3}{5}$, maka peluang "gagal" adalah $q=1-p=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$.

Peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan $(x=3)$ dari 5 kali tendangan $(n=5)$ adalah:

$\begin{align*}P(x=3, n=5)&=C(5,3)\times \left(\frac{3}{5}\right)^{3}\times \left(\frac{2}{5}\right)^{5-3}\\&=\frac{5!}{2!.3!}\times \left(\frac{3}{5}\right)^{3}\times\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\\&=10\times\left(\frac{27}{125}\right)\times\left(\frac{4}{25}\right)\\&=\frac{216}{625}\end{align*}$

Contoh 2 (SIMAK UI)

Peluang mendapatkan satu kali jumlah angka 7 dalam tiga kali pelemparan dua buah dadu adalah ....

A. $\frac{5}{246}$

B. $\frac{5}{36}$

C. $\frac{25}{46}$

D. $\frac{25}{72}$

E. $\frac{135}{432}$

Pembahasan:

kemungkinan jumlah mata dadu 7:

$\left\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\right\}$ ada 6 kemungkinan

banyak semua kemungkinan adalah $6\times 6=36$

dengan demikian peluang sukses (jumlah mata dadu 7) adalah $p=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

peluang gagal (jumlah mata dadu bukan 7) adalah $q=1-p=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

Peluang mendapatkan satu kali $(x=1)$ dadu jumah 7 dari 3 kali $(n=3)$ pelemparan adalah:

$\begin{align*}P(x=1,n=3)&=C(3,1)\times\left(\frac{1}{6}\right)^{1}\times\left(\frac{5}{6} \right)^{3-1}\\&=\frac{3!}{2!.1!}\times\left(\frac{1}{6}\right)\times\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\\&=3\times\left(\frac{1}{6}\right)\times\left(\frac{25}{36}\right)\\&=\frac{25}{72}\end{align*}$

Contoh 3

Probabilitas seorang bayi tidak diimunisasi rubela adalah $0,2$. Pada suatu hari di puskesmas Cempaka ada 4 orang bayi, peluang dari bayi tersebut 3 orang belum diimunisasi rubela adalah ....
A. $0,0128$
B. $0,0256$
C. $0,0512$
D. $0,1240$
E. $0,2480$

Pembahasan:

peluang tidak diimunisasi adalah $p=0,2$
peluang diimunisasi adalah $q=1-p=1-0,2=0,8$

Peluang 3 dari 4 bayi belum diiunisasi adalah :

$\begin{align*}P(x=3, n=4)&=C(4,3)\times (0,2)^{3}\times (0,8)^{4-3}\\&=\frac{4!}{1!.3!}\times(0,008)\times (0,8)\\&=0,0256\end{align*}$

Contoh 4

Sebuah koin dilempar 5 kali. Peluang mendapatkan sisi gambar tepat 3 kali adalah ....
A. $\frac{6}{54}$
B. $\frac{10}{32}$
C. $\frac{8}{36}$
D. $\frac{5}{18}$
E. $\frac{3}{18}$

Pembahasan:
Peluang mendapat gambar pada setiap pelemparan adalah $p=\frac{1}{2}$
Peluang mendapatkan angka pada setiap pelemparan adalah $q=1-p=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Peluang tepat 3 kali dapat gambar dari 5 kali pelemparan adalah:

$\begin{align*}P(x=3,n=5)&=C(5,3)\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\\&=\frac{5!}{2!.3!}\times\left(\frac{1}{8}\right)\times\left(\frac{1}{4}\right)\\&=10\times\frac{1}{8}\times\frac{1}{4}\\&=\frac{10}{32}\end{align*}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan materi distribusi binomial. semoga bermanfaat

Sumber https://www.m4th-lab.net/

Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Tanpa Rumus

Pada kesempatan kali ini saya akan berbagi bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri tanpa menggunakan rumus. yang saya maksud, adalah rumus persamaan trigonometri berikut ini:

Persamaan	Penyelesaian
$\sin{x} =\sin{a^\circ}$ $\cos{x}=\cos{a^\circ}$ $\tan{x}=\tan{a^\circ}$	$x=a^\circ+k\times360^\circ$ atau $x=(180-a)^\circ+k\times360^\circ$ $x=\pm a^\circ+k\times 360^\circ$ $x=a^\circ +k\times 180^\circ$

Rumus-rumus yang lumayan susah untuk diingat 😁, tapi cara yang saya bagikan ini sebenarnya tidak saya sarankan, anggap saja hanya berbagi pengalaman bagaimana cara saya menutupi kekurangan yang jujur saja lemah dalam hapalan, toh matematika bukan ilmu hapalan kan? hehe 😁

Namun tetap, ada beberapa syarat yang mesti terpenuhi untuk bisa menggunakan cara ini, 

Pertama, kalian harus tau nilai trigonometri sudut istimewa pada kuadran I, sebagai berikut:

$\alpha$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
$\sin{\alpha}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$1$
$\cos{\alpha}$	$1$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan{\alpha}$	$0$	$\frac{1}{3} \sqrt{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$

Kedua, kalian harus tau nilai trigonometri bernilai positif atau negatif berada di kuadran mana saja.

untuk mempermudah mengingatnya, kita ingat yang bernilai positifnya saja yang biasa saya hapal menggunakan "jembatan keledai" dalam kalimat "semanis sinta tanpa cosmetik", sebagai berikut:

Kuadran I : Semua bernilai positif ($\sin$, $\cos$, $\tan$, $\sec$, $\csc$ dan $\cot$)

Kuadaran II : $\sin$ (dan "kebalikannya" yaitu $\csc$) bernilai positif, yang lainnya negatif

Kuadran III : $\tan$  (dan "kebalikannya" yaitu $\cot$) bernilai positif, yang lainnya negatif

Kuadran IV : $\cos$ (dan "kebalikannya" yaitu $\sec$) bernilai positif, yang lainnya negatif

perhatikan diagram berikut:

Nah, itulah dua syarat yang harus terpenuhi.

Baiklah sekarang kita coba bahas soal persamaan trigonometri, kita mulai dari yang paling sederhana:

CONTOH 1

Tentukan penyelesaian dari persamaan $\sin{x}=\frac{1}{2}$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$.

Jawab:
Pertama perhatikan batasan $x$ yaitu $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ artinya $x$ bisa berada di kuadran I, II, III atau IV.

Sekarang perhatikan persamaan $\sin{x}=\frac{1}{2}$, bisa kita lihat nilai $\sin$ positif, artinya nilai $x$ yang memenuhi pastilah berada di kuadran I atau II (karena $\sin$ positif di kuadran I dan II)

maka nilai $x$ yang memenuhi pastilah $x=30^\circ$ atau $x=150^\circ$

CONTOH 2

Tentukan penyelesaian dari persamaan $\cos{x}+1=0$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$.

Jawab:
$\cos{x}+\frac{1}{2}\sqrt{2}=0\Rightarrow\cos{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$


Pertama perhatikan batasan $x$ yaitu $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ artinya $x$ bisa berada di kuadran I, II, III atau IV.

Perhatikan persamaan $\cos{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$ nilai $\cos$ negatif, artinya nilai $x$ yang memenuhi berada di kuadran III dan IV.

Maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^\circ-45^\circ=135^\circ$ atau $x=180^\circ+45^\circ=225^\circ$

CONTOH 3 (Sumber soal: Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara)

Penyelesaian persamaan $\cos{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$ untuk $0^\circ\leq x \leq 360^\circ$ adalah ....
A. $x=30^\circ, 150^\circ$
B. $x=120^\circ, 210^\circ$
C. $x=150^\circ, 210^\circ$
D. $x=150^\circ, 300^\circ$
E. $x=150^\circ, 330^\circ$

Jawab:
Nilai $\cos$ negatif, artinya nilai $x$ yang memenuhi berada di kuadaran II dan III, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^\circ-30^\circ=150^\circ$ dan $x=180^\circ+30^\circ=210^\circ$.

Jawaban: C

CONTOH 4 (Sumber soal: Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara)

Diketahui $x_1$ dan $x_2$ merupakan penyelesaian persamaan $\sqrt{2}+2\cos{x}=0$ untuk $0^\circ\leq x \leq 360^\circ$. nilai $x_1+x_2=$ ....
A. $210^\circ$
B. $270^\circ$
C. $300^\circ$
D. $330^\circ$
E. $360^\circ$

Jawab:
$\begin{align*}\sqrt{2}+2\cos{x}&=0\\2\cos{x}&=-\sqrt{2}\\ \cos{x}&=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{align*}$

Nilai $\cos$ negatif, artinya nilai $x$ yang memenuhi berada pada kuadran II dan III, maka:
$x_1=180^\circ-45^\circ=135^\circ$
$x_2=180^\circ+45^\circ=225^\circ$, 
sehingga $x_1+x_2=135^\circ+225^\circ=360^\circ$

Jawaban: E

CONTOH 5 (Sumber soal: Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara)

Penyelesaian persamaan $\tan{(x+15^\circ)}=-1$ untuk $180^\circ \leq x \leq 360^\circ$ adalah ....
A. $x=135^\circ$
B. $x=225^\circ$
C. $x=300^\circ$
D. $x=315^\circ$
E. $x=330^\circ$

Jawab:
Batasan $x$, $180^\circ \leq x \leq 360^\circ$ bisa kita ubah menjadi :
$180^\circ+15^\circ \leq x+15^\circ \leq 360^\circ+15^\circ$
$\Rightarrow 195^\circ\leq x+15^\circ\leq 375^\circ$

Jika kita misalkan $x+15^\circ=p$, maka:
$\tan{p}=-1$ dengan $195^\circ\leq p \leq 375^\circ$

$\tan$ bernilai negatif, artinya $p$ yang memenuhi berada di kuadran IV, dengan demikian, nilai $p=360^\circ-45^\circ=315^\circ$

$\begin{align*}x+15^\circ&=p\\x+15^\circ&=315^\circ\\x&=315^\circ-15^\circ\\x&=300^\circ\end{align*}$

Jawaban: C

CONTOH 6 (Sumber soal: Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara)

Himpunan penyelesaian persamaan $2\cos{(2x-60^\circ)}=1$ untuk $0^\circ \leq x \leq 180^\circ$ adalah ....
A. $\{ 0^\circ, 45^\circ, 135^\circ \}$
B. $\{0^\circ, 60^\circ, 135^\circ\}$
C. $\{0^\circ, 60^\circ, 180^\circ\}$
D. $\{30^\circ, 45^\circ, 180^\circ\}$
E. $\{30^\circ, 135^\circ, 180^\circ\}$

Jawab:
$\begin{align*}2\cos {(2x-60^\circ)}&=1\\ \cos{(2x-60^\circ)}&=\frac{1}{2}\end{align*}$

Batasan $x$
$0^\circ \leq x \leq 180^\circ \Leftrightarrow -60^\circ \leq 2x-60^\circ \leq 360^\circ$

Misal: $2x-60^\circ = p$, maka
$\cos{p}=\frac{1}{2}$ untuk $-60^\circ \leq p \leq 300^\circ$

karena nilai $\cos$ positif, maka $p$ yang memenuhi berada di kuadran I, dan IV. Perhatikan juga "batasan" $p$, $-60^\circ$ berada di kuadran IV, memenuhi. jadi $p=-60^\circ, 60^\circ, 300^\circ$

$2x-60^\circ=p\Leftrightarrow x=\frac{p+60^\circ}{2}$

untuk $p=-60^\circ\Rightarrow x=\frac{-60^\circ+60^\circ}{2}=0^\circ$
untuk $p=60^\circ\Rightarrow x=\frac{60^\circ+60^\circ}{2}=60^\circ$
untuk $p=300^\circ\Rightarrow x=\frac{300^\circ+60^\circ}{2}=180^\circ$

Jawaban: C

Sumber https://www.m4th-lab.net/

Kumpulan\Rangkuman Rumus Trigonometri Lengkap

Pada postingan kali ini saya akan mencoba merangkum rumus-rumus trigonometri, jadi pada postingan ini pembahasan materi tidak begitu terperinci, dan tidak disertai dengan contoh, hanya berisi rangkuman rumus trigonometri sebagai "pegangan", mengingat rumus-rumus ini seringkali kita gunakan dalam berbagai bab/materi seperti turunan trigonometri, limit trigonometri, integral trigonometri, dan sebagainya.

Pengukuran sudut dengan derajat dan radian

Ada dua jenis satuan pengukuran sudut yaitu derajat dan radian. Derajat dinotasikan dengan $^\circ$. Satu derajat $=\frac{1}{360}$ sudut satu putaran, atau dengan kata lain :
$$\text{Satu putaran}=360^\circ$$
Sedangkan satu radian $=\frac{180^\circ}{\pi}$ atau dengan kata lain:
$$\pi\space\text{radian}=180^\circ$$
Umumnya dalam pengukuran sudut yang dinyatakan dengan satuan radian hanya ditulis $\pi$ saja, misal $\alpha=\frac{1}{3}\pi$ radian $=\frac{1}{3}\pi=60^\circ$

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Perhatikan segitiga berikut:

Pada segitiga tersebut berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut:

$\sin{A}=\frac{a}{c}$

$\cos{A}=\frac{b}{c}$

$\tan{A}=\frac{a}{b}$

$\csc{A}=\frac{1}{\sin{A}}=\frac{c}{a}$

$\sec{A}=\frac{1}{\cos{A}}=\frac{c}{b}$

$\cot{A}=\frac{1}{\tan{A}}=\frac{b}{a}$

Nilai Trigonometri Sudut Istimewa

Berikut ini nilai trigonometri sudut-sudut istimewa pada kuadran I:

$\alpha$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$1$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan \alpha$	$0$	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$
$\csc \alpha$	$-$	$2$	$\sqrt{2}$	$\frac{2}{3}\sqrt{3}$	$1$
$\sec \alpha$	$1$	$\frac{2}{3}\sqrt{3}$	$\sqrt{2}$	$2$	$-$
$\cot \alpha$	$-$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$0$

Identitas Trigonomteri

Berdasarkan definisi trigonometri, dapat diperoleh rumus-rumus identitas trigonometri sebagai berikut:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha}$

$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}=\frac {\cos \alpha}{\sin \alpha}$

$\sec \alpha =\frac {1}{\cos \alpha}$

$\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha}$

$\sin ^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

$\tan ^2 \alpha +1=\sec^2 \alpha$

$\cot^2\alpha+1=\csc^2\alpha$

Sudut-sudut Berelasi

Rumus-rumus sudut berelasi dalam trigonometri
Pola $(k.90\pm\alpha)$ dengan $k$ bil. ganjil	Pola $(k.90\pm\alpha)$ dengan $k$ bil. genap
$\sin (90^\circ -\alpha )=\cos{\alpha}$ $\cos (90^\circ -\alpha)=\sin {\alpha}$ $\tan (90^\circ -\alpha)=\cot \alpha$ $\sin (90^\circ +\alpha )=\cos{\alpha}$ $\cos (90^\circ +\alpha)=-\sin {\alpha}$ $\tan (90^\circ +\alpha)=-\cot \alpha$ $\sin (270^\circ -\alpha )=-\cos{\alpha}$ $\cos (270^\circ -\alpha)=-\sin {\alpha}$ $\tan (270^\circ -\alpha)=\cot \alpha$ $\sin (270^\circ +\alpha )=-\cos{\alpha}$ $\cos (270^\circ +\alpha)=\sin {\alpha}$ $\tan (270^\circ +\alpha)=-\cot \alpha$	$\sin (180^\circ - \alpha)=\sin \alpha$ $\cos (180^\circ - \alpha)=-\cos\alpha$ $\tan (180^\circ - \alpha)=-\tan\alpha$ $\sin (180^\circ + \alpha)=-\sin \alpha$ $\cos (180^\circ + \alpha)=-\cos\alpha$ $\tan (180^\circ + \alpha)=\tan\alpha$ $\sin (360^\circ + \alpha)=-\sin \alpha$ $\cos (360^\circ + \alpha)=\cos\alpha$ $\tan (360^\circ + \alpha)=-\tan\alpha$
Pola
$\sin \Rightarrow \cos$ $\cos \Rightarrow \sin$ $\tan \Rightarrow \cot$	$\sin \Rightarrow \sin$ $\cos \Rightarrow \cos$ $\tan \Rightarrow \tan$
Tanda $+$ dan $-$ berdasarkan letak kuadrannya

Trigonometri untuk Penjumlahan Sudut

Berikut ini rumus-rumus trigonometri untuk penjumlahan dan pengurangan sudut:

$\sin {(A+B)}=\sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\sin {(A-B)}=\sin A \cos B - \cos A \sin B$

$cos {(A+B)}=\cos A \cos B -\sin A \sin B$

$\cos {(A-B)}=\cos A \cos B + \sin A \sin B$

$\tan (A+B)=\frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A \tan B}$

$\tan (A-B)=\frac{\tan A -\tan B}{1+\tan A \tan B}$

Trigonometri Sudut Rangkap Dua

Sudut rangkap merupakan penjumlahan dua sudut yang sama, misalnya $2A=A+A$. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap dua diberikan sebagai berikut:

$\sin 2A=2 \sin A \cos A$

$\begin{align*}\cos 2A&=\cos^2A-\sin^2 A\\&=2\cos^2A-1\\&=1-2\sin^2A\end{align*}$

$\begin{align*}\tan 2A&=\frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}\\&=\frac{2\cot{A}}{\cot^2{A}-1}\\&=\frac{2}{\cot{A}-\tan{A}}\end{align*}$

Trigonometri Sudut Rangkap Tiga

Sudut rangkap merupakan penjumlahan tiga sudut yang sama, misalnya $3A=A+A+A$. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap tiga diberikan sebagai berikut:

$\sin{3A}=3\sin{A}-4\sin^3{A}$

$\cos{3A}=4\cos^3{A}-3\cos{A}$

Rumus Setengah Sudut

Berikut ini rumus trigonometri setengah sudut:
$\sin{\frac{1}{2}A}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{A}}{2}}$

$\cos{\frac{1}{2}A}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{A}}{2}}$

$\begin{align*}\tan{\frac{1}{2}A}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{A}}{1+\cos{A}}}\\&=\frac{\sin{A}}{1+\cos{A}}\\&=\frac{1-\cos{A}}{\sin{A}}\end{align*}$

Rumus-rumus Penjumlahan Trigonometri

Berikut ini rumus-rumus penjumlahan dalam trigonometri:

$\sin A +\sin B=2\sin \frac{1}{2}(A+B)\cos \frac{1}{2}(A-B)$

$\sin A -\sin B=2\cos \frac{1}{2}(A+B)\sin \frac{1}{2}(A-B)$

$\cos A+\cos B=2\cos \frac{1}{2}(A+B)\cos \frac{1}{2}(A-B)$

$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{1}{2}(A+B)\sin \frac{1}{2}(A-B)$

Rumus-rumus Perkalian Trigonometri

Berikut ini rumus-rumus perkalian dalam trigonometri:

$2\sin{A}\cos{A}=\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}$

$2\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}$

$2\cos{A}\cos{B}=\cos{(A+B)}+\cos{(A-B)}$

$-2\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}-\cos{(A-B)}$

Persamaan Trigonometri

Berikut ini bentuk persamaan trigonometri beserta penyelesaiannya

Persamaan	Penyelesaian
$\sin{x} =\sin{a^\circ}$ $\cos{x}=\cos{a^\circ}$ $\tan{x}=\tan{a^\circ}$	$x=a^\circ+k\times360^\circ$ atau $x=(180-a)^\circ+k\times360^\circ$ $x=\pm a^\circ+k\times 360^\circ$ $x=a^\circ +k\times 180^\circ$

Aturan Trigonometri dalam Segitiga

Dalam suatu segitiga sembarang dapat dirumuskan beberapa aturan trigonometri, aturan tersebut berkaitan dengan panjang sisi dan besar sudut segitiga. berikut ini disajikan rumusan beberapa aturan tersebut:

1. Aturan sinus
Pada segitiga $ABC$ berlaku:
$\frac{A}{\sin A}=\frac{B}{\sin B}=\frac{C}{\sin C}$

2. Aturan cosinus
pada segitiga $ABC$ berlaku:
$a^2=b^2+c^2-2bc \cos A$
$b^2=a^2+c^2-2ac \cos B$
$c^2=a^2+b^2-2ab \cos C$

3. Luas segitiga
Luas segitiga $ABC$:
$L=\frac{1}{2}bc \sin A$
$L=\frac{1}{2}ab \sin C$
$L=\frac{1}{2}ac \sin B$

$\blacksquare$ Denih Handayani, 1 Agustus 2017

Sumber https://www.m4th-lab.net/